高数1-常用公式

高数中常用麦克劳林展开、容易忘的微分公式、基本积分表备忘

1. 常用麦克劳林展开

$$
\begin{align}
&1. \sin x=x-\frac{1}{6}x^3+o(x^3)\\
&2. \arcsin x=x+\frac{1}{6}x^3+o(x^3)\\
&3. \tan x=x+\frac{1}{3}x^3+o(x^3)\\
&4. \arctan x=x-\frac{1}{3}x^3+o(x^3)\\
&5. \cos x=1-\frac{1}{2}x^2+\frac{1}{24}x^4+o(x^4)\\
&6. e^x=1+x+\frac{1}{2}x^2+\frac{1}{6}x^3+o(x^3)\\
&7. \ln(1+x)=x-\frac{1}{2}x^2+\frac{1}{3}x^3+o(x^3)\\
&8. (1+x)^{\alpha}=1+\alpha x+\frac{\alpha(\alpha-1)}{2}x^2+o(x^2)
\end{align}
$$

对应的等价无穷小：

1. $\sin x\sim x$
2. $\arcsin x\sim x$
3. $\tan x \sim x$
4. $\arctan x\sim x$
5. $1-\cos x\sim\frac{1}{2}x^2$
6. $e^x-1\sim x$
7. $\ln(1+x)\sim x$
8. $(1+x)^{\alpha}-1\sim \alpha x$

拓展和记法：

1. $x-\sin x\sim \frac{1}{6}x^3$
2. $x-\arcsin x\sim -\frac{1}{6}x^3$
3. $x-\tan x\sim -\frac{1}{3}x^3$
4. $x-\arctan x\sim \frac{1}{3}x^3$

狗减sin狗，1/6狗三儿。

sin变arcsin，第二项变号。arcsin变tan，1/6变1/3。

sin变cos，各项求导。

2. 容易忘的微分公式

$$
\begin{align}
1.& (\arctan x)'=\frac{1}{1+x^2}\\
2.& (arccot\ x)'=-\frac{1}{1+x^2}\\
3.& (\arcsin x)'=\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}\\
4.& (\arccos x)'=-\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}\\
5.& \ln(x+\sqrt{x^2+a^2})'=\frac{1}{\sqrt{x^2+a^2}}\\
6.& \ln(x+\sqrt{x^2-a^2})'=\frac{1}{\sqrt{x^2-a^2}}
\end{align}
$$

3. 四大基本积分法

3.1 基本积分表

$$
\begin{align}
1.&\int{\frac{1}{x^2}}dx=-\frac{1}{x}+C\\
2.&\int{\frac{1}{\sqrt{x}}}dx=2\sqrt{x}+C\ (\frac{1}{\sqrt x}dx=d(2\sqrt x))\\
3.&\int{\frac{1}{x}}dx=\ln|x|+C\\
4.&\ \int \sin xdx=-\cos x+C\\
&\ \int \cos xdx=\sin x+C\\
&\ \int tanxdx=-\ln \left| \cos x\right| +C\\
&\ \int \cot xdx=\ln \left| \sin x\right| +C\\
&\ \int \dfrac {dx}{\cos x}=\int \sec xdx=\ln \left| \sec x+\tan x\right| +C\\
&\ \int \dfrac {dx}{\sin x}=\int \csc xdx=\ln \left| \csc x-\cot x\right| +C\\
&\ \int \sec ^{2}xdx=\tan x+C\\
&\ \int \csc ^{2}xdx=-\cot x+C\\
&\ \int \sec x\tan xdx=\sec x+C\\
&\ \int \csc x\cot xdx=-\csc x+C\\
5.&\ \int \dfrac {1}{1 +x^{2}}dx=\arctan x+C\\
&\ \int \dfrac {1}{a^2 +x^{2}}dx=\dfrac{1}{a}\arctan \dfrac{x}{a}+C\\
6.&\ \int \dfrac {1}{x^{2}-a^{2}}dx=\dfrac {1}{2a}\ln \left| \dfrac {x-a}{x+a}\right| +C\\
&\ \int \dfrac {1}{a^{2}-x^{2}}dx=\dfrac {1}{2a}\ln \left| \dfrac {x+a}{x-a}\right| +C\\
7.&\ \int \dfrac {1}{\sqrt {1-x^{2}}}dx=\arcsin x+C\\
&\ \int \dfrac {1}{\sqrt {a^2-x^{2}}}dx=\arcsin \dfrac{x}{a}+C\\
8.&\ \int \dfrac {1}{\sqrt {x^{2}+a^{2}}}dx=\ln \left( x+\sqrt {x^{2}+a^{2}}\right) +C\\
&\ \int \dfrac {1}{\sqrt {x^{2}-a^{2}}}dx=\ln \left( x+\sqrt {x^{2}-a^{2}}\right) +C\\
9.&\int \sqrt {a^{2}-x^{2}}dx=\dfrac {a^{2}}{2}\arcsin \dfrac {x}{a}+\dfrac {x}{2} \sqrt {a^2-x^{2}}+C\\
\end{align}
$$

【注】有价值的公式：

1. $\int \sin ^{2}xdx=\dfrac {x}{2}-\dfrac {\sin 2x}{4}+C$ 因为$\sin ^{2}x=\dfrac {1-\cos 2x}{2}$
2. $\int \cos ^{2}xdx=\dfrac {x}{2}+\dfrac {\sin 2x}{4}+C$ 因为$\cos ^{2}x=\dfrac {1+\cos 2x}{2}$
3. $\int \tan ^{2}xdx=\tan x-x+C$ 因为$\tan ^{2}x=\sec ^{2}x-1$
4. $\int \cot ^{2}xdx=-\cot x-x+C$ 因为$\cot ^{2}x=\csc ^{2}x-1$