高数2-十大定理

十大定理，一篇短博客就可以展示完，至于应用嘛，就各凭本事了

数学不就是授之以鱼嘛

然后考之以 鱽鱾鲀鱿鲃鲂鲉鲌鲄鳐鳍鳘鳛鳕鳓鳔鳖

十大定理，设$f(x)$在[a,b]上连续，则有：

1. 有界性

$|f(x)|\leq K$

2. 最值定理

$m\leq f(x)\leq M$

3. 介值定理

若$m\leq \mu\leq M$，$\exists\ \xi\in [a,b]$，使$f(\xi)=\mu$

4. 零点定理

若 $f(a)\cdot f(b)<0$ ，则 $\exists\ \xi\in (a,b)$ ，使$f(\xi)=0$

5.费马定理

设$f(x)$在$x_0$处：1. 可导 2. 取极值，则$f'(x_0)=0$

6. 罗尔定理

若$f(x)$在$[a,b]$ 连续，在$(a,b)$ 可导，且$f(a)=f(b)$ ，则 $\exists\ \xi\in(a,b)$ ，使得$f'(\xi)=0$

7. 拉格朗日中值定理

若$f(x)$在$[a,b]$ 连续，在$(a,b)$ 可导，则$\exists\ \xi\in (a,b)$ ，使得 $f(b)-f(a)=f'(\xi)(b-a)$

8. 柯西中值定理

若$f(x)、g(x)$在$[a,b]$ 连续，在$(a,b)$ 可导，且$g'(x)\neq 0$ ，则

$\exists\ \xi\in(a,b)$ ，使得 $\dfrac{f(b)-f(a)}{g(b)-g(a)}=\dfrac{f'(\xi)}{g'(\xi)}$

9. 泰勒定理（泰勒公式）

n阶带皮亚诺余项：条件为在$x_0$处n阶可导

$f(x)=f(x_0)f'(x_0)(x-x_0)+\dfrac{f''(x_0)}{2!}(x-x_0)^2+...+\dfrac{f^{(n)}(x_0)}{n!}(x-x_0)^n+o((x-x_0)^n)\ ,x\xrightarrow{} x_0$

n阶带拉格朗日余项：条件为 n+1阶可导

$f(x)=f(x_0)f'(x_0)(x-x_0)+\dfrac{f''(x_0)}{2!}(x-x_0)^2+...+\dfrac{f^{(n)}(x_0)}{n!}(x-x_0)^n+\dfrac{f^{(n+1)}(\xi)}{(n+1)!}(x-x_0)^{n+1}\ ,x\xrightarrow{} x_0$

10. 积分中值定理（平均值定理）

若 $f(x)$在 $[a,b]$ 连续，则$\exists\ \xi\in(a,b)$，使得 $\int_a^bf(x)dx=f(\xi)(b-a)$

【注】

• 称$\bar{f}=\dfrac{1}{b-a}\int_a^bf(x)dx$ 叫$f(x)$ 在$[a,b]$ 上的平均值。
• 离散化 $\bar{f}=\dfrac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}f(x_i)$